בצעירותו למד הרב אליהו בקשי דורון בישיבת הדרום, לאחר מכן בישיבת חברון ובכולל קול יעקב.
בשנת תש"ל (1970) החל לשמש רב שכונות רמת הנשיא ורמת יוסף בבת ים, ובשנת תשל"ב (1972) מונה לרב העיר בת ים. בשנת תשל"ד (1974), לאחר פטירת חכם יוסף משאש, החל לשמש רב העיר חיפה. תפקיד אותו מילא כעשרים שנה. בחיפה הקים את ישיבת 'מורשה', שם מסר שיעורי תורה.
בשנת תשנ"ג (1993) נבחר לשמש כרב הראשי לישראל, ה'ראשון לציון'.
הרב בקשי דורון היה נשיא ארגוני חסד, חבר בארגון ידידי בית החולים רמב"ם, הנהלת קרן לב"י וחבר נשיאות מכון ירושלים. לאחר יציאתו לגמלאות הקים בירושלים את מוסדות "בנין אב" בנשיאותו.
במהלך התפרצות נגיף הקורונה נדבק הרב בקשי דורון בנגיף ונפטר במרכז הרפואי שערי צדק בגיל 79. הובא לקבורה בהר המנוחות.
לזכרון עולם 2023© כל הזכויות שמורות. 
